Hệ Phương Trình Tuyến Tính Và Cách Giải

Mời các bạn cùng xem thêm nội dung bài xích giảng Bài 1: Hệ phương trình tuyến tính tiếp sau đây để khám phá về dạng trình diễn ma trận, giải hệ phương trình đường tính bằng cách thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,...

Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính và cách giải

1. Dạng biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương trình đường tính bằng cách thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình tuyến tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường phù hợp tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến tính nẩn như sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Lúc đó, hệ phương trình trên hoàn toàn có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.

2. Giải hệ phương trình con đường tính bằng phương pháp Gauss.

Một cách thức thông dụng để giải hệ phương trình đường tính là phương thức Gauss, chuyển ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang hay lan can thu gọn, nhờ những phép biến hóa sơ cấp cho trên dòng.

Xem thêm: Xem Phim Cưa Đổ Nàng Ác Ma Tập 13 Vietsub + Thuyết Minh, Xem Phim Cưa Đổ Nàng Ác Ma

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là :

Ta gồm hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )

Như thế, hệ phương trình bao gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là:

Ta gồm hệ phương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ gồm nghiệm tuyệt nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta bao gồm hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

3. Định lý Cronecker - Capelli

Xét hệ phương trình con đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ tất cả vô số nghiệm cùng với 2 ẩn thiết yếu ứng cùng với 2 phần tử dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn thoải mái x3 ta bao gồm hệ phương trình tất cả vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)

4. Hệ Cramer

Hệ phương trình con đường tính AX = B được điện thoại tư vấn là hệ Cramer ví như A là ma trận vuông ko suy đổi mới , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Khi đó, ta bao gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cung cấp của ma trận A khá lớn thì việc tìm(A^-1) tương thay đổi phức tạp. Rộng nữa, tất cả khi ta chi buộc phải tìm một vài ba ẩn (x_j) thay vì toàn cục các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Trường đoản cú đó, tín đồ ta tìm ra công thúc tính từng ẩn (x_j) nhờ vào công thức (X = A^-1B) như sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong kia (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đã có được từ A bằng cách thay cột j vì chưng vế đề nghị (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))

5. Hệ phương trình đường tính thuần nhất.

Hệ phương trình đường tính AX = 0 hotline là hệ thuần nhất. Không tính các đặc thù chung của hệ AX = B, hệ thuần độc nhất AX = 0 còn tồn tại các tính chất riêng như sau :

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, yêu cầu hệ tất cả nghiệm nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm bao quát là:

(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.