Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2 và bất phương trình bậc 2 có khá nhiều công thức và biểu thức mà các em cần ghi nhớ vì vậy thường gây nhầm lẫn khi các em vận dụng giải bài tập.
Bạn đang xem: Quy tắc trong trái ngoài cùng
Trong bài viết này, chúng ta cùng rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về xét dấu của tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 với các dạng toán khác nhau. Qua đó dễ dàng ghi nhớ và vận dụng giải các bài toán tương tự mà các em gặp sau này.
I. Lý thuyết về dấu tam thức bậc 2
1. Tam thức bậc hai
- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.
* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.
a) f(x) = x2 - 3x + 2
b) f(x) = x2 - 4
c) f(x) = x2(x-2)
° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2.
2. Dấu của Tam thức bậc hai
* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 - 4ac.
- Nếu Δ0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x 1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 2 trong đó x1,x2 (với x12) là hai nghiệm của f(x).
* Cách xét dấu của tam thức bậc 2
- Tìm nghiệm của tam thức
- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a
- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận
II. Lý thuyết về Bất phương trình bậc 2 một ẩn
1. Bất phương trình bậc 2
- Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c 2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.
* Ví dụ: x2 - 2 >0; 2x2 +3x - 5 2. Giải bất phương trình bậc 2
- Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a0).
III. Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn
° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2
* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:
a) 5x2 - 3x + 1
b) -2x2 + 3x + 5
c) x2 + 12x + 36
d) (2x - 3)(x + 5)
° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):
a) 5x2 – 3x + 1
- Xét tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 – 20 = –11 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.
b) -2x2 + 3x + 5
- Xét tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.
- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:
f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2
f(x) 2 + 12x + 36
- Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 144 - 144 = 0.
Xem thêm: Vệt Phim Bí Mật Ngôi Sao P1
- Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f(x) > 0 với ∀x ≠ –6
f(x) = 0 khi x = –6
d) (2x - 3)(x + 5)
- Xét tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15
- Ta có: Δ = b2 - 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.
- Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.
- Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có:
f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)
f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2
f(x) * Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức
a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)
b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1)
c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)
d) f(x) = <(3x2 - x)(3 - x2)>/<4x2 + x - 3>
° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10):
a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)
- Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x 3 và mang dấu – nếu 1/3 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)
f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3}
f(x) 2 - 4x)(2x2 - x - 1)
- Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x 4/3 và mang dấu – khi 0 2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0
⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x 1 và mang dấu – khi –1/2 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)
f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3}
f(x) 2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)
- Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0
⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 2 + x – 3 có Δ = –47 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)
f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2}
f(x) 2 - x)(3 - x2)>/<4x2 + x - 3>
- Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.
⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x 1/3 và mang dấu – khi 0 2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 2 mang dấu – khi x √3 và mang dấu + khi –√3 2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.
⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x 3/4 và mang dấu – khi –1 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)
f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3}
f(x) ° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn
* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau
a) 4x2 - x + 1 2 + x + 4 ≥ 0
c)
⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.
- Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:
(*) ⇔
